24 декабря Архивач восстановлен после серьёзной аварии. К сожалению, значительная часть сохранённых изображений и видео была потеряна. Подробности случившегося. Мы призываем всех неравнодушных помочь нам с восстановлением утраченного контента!
Вопрос к шарящим анонам. В math полторы калеки, поэтому пишу здесь.
Я маленький любитель математики, посвятил немного времени изучению теории множеств и прочитал доказательство неравномощности натуральных и действительных, приведённое Кантором. Возникло 2 вопроса.
1) Когда мы предполагаем, что смогли поставить в соответствие каждому натуральному своё действительное, мы имеем в виду, что составили законченную таблицу, где каждому натуральному соответствует своё действительно? Или предположение заключается в том, что мы сумели найти алгоритм нумерации каждого действительного числа?
2) Есть ли иные доказательства неравномощности R и N? Даже интуитивно понимаю, что действительных больше, но само доказательство кажется каким - то искусственным.
Я плохо всё это помню, но грубо говоря натуральному n всегда можно поставить в соответствие действительное 1/n. То есть всё уложилось в [0, 1]. Так я себе всегда это представлял.
>>269971917 (OP) >Есть ли иные доказательства неравномощности R и N? Даже интуитивно понимаю, что действительных больше, но само доказательство кажется каким - то искусственным А доказательства то какие ?
>>269971917 (OP) 1) Равносильные утверждения. Если таблица существует, значит может быть получена, даже если составляется случайным образом. И наоборот, если существует алгоритм, значит существует и таблица. 2) Привыкай. Некрасивых доказательств в математике дохуя, но это не отменяет доказательности. Вообще, классическое доказательство из курса мат. анализа в МГУ можно найти книжке Ильина, Садовничего, Сендова. Доказательство красивое, шо пиздец.
>>269972897 Это троллинг тупостью? Доказательства, следствием которых является неравномощность R и N, причём такие, что не используют Диагональный аргумент Кантора.
>>269972697 >Отличные от Диагонального аргумента Кантора. Или ты про обозначения? R - действительные, N - натуральные. Хорошее доказательство, чем тебе не нравится, ?
>>269973241 В любом случае, в разных источниках почитать одно и то же - полезно. Не знаю, где ты читал, но иногда даже простые вещи объясняют по классической концепции так ебано, что даже отдельно взятые предложения понять тяжело.
>>269973241 Возникает неприятное ощущение, когда читаю строки "Предположим, что мы смогли пронумеровать каждое действительное число. Как будто подобный процесс когда - то завершится. Если мы получили какое - то "лишнее" действительное число, почему мы не можем присвоить ему очередной номер? Ведь множество натуральных бесконечно. То есть, я не понимаю, почему вообще корректно говорить, что мы смогли занумеровать бесконечное множество, неважно счётное оно или нет, потому что занумеровать в моём представлении — это завершённое действие.
>>269973750 Слишком сильно опираешься на алгоритмичность процесса нумерации. Если биекция из N в R существует, то у каждого вещественного числа есть порядковый номер. Точка. Иными словами мы имеем бесконечную таблицу по факту, где все строки описывают все числа вообще. Теперь начнём строить новое число, отличное от каждого по диагональному правилу (важно запретить хвосты из девяток, иначе будет двойственное представление одного и того же числа). Этот процесс бесконечный, да, но вполне законный. И таким образом мы получим число, отличное от всех чисел таблицы, то есть от всех чисел вообще. А это противоречит тому, что можно занумировать все числа, то есть противоречит существованию биекции.
>>269974907 Да, теперь я однозначно понял. Почему - то я на интуитивном уровне относился к полученной таблице, как к конечной, и именно потому мне казалось, что изначальное предположение противоречиво в самой своей сути. Думал, что противоречие мы получаем не в силу неравномощности множеств, а из - за того, что предположили, что смогли завершить процесс нумерации. Но процесс нумерации необязательно должен быть конечным, завершённым. Большое тебе спасибо, анон.
>>269973750 Представь множество натуральных чисел как кирпичи определенного размера, плотно сложенные друг к другу на складе. Их может быть сколько угодно, но если они все пронумерованы посчитаны, подписан номер, то без изменения уникального номера ты не сможешь запихуячить ещё один кирпич, например, между 36 и 37 кирпичом. Это можно сделать только с края, и подпишешь ты его как следующий за предыдущим.
Если так же сложить кирпичи, подписанные всеми существующими действительными числами, то ничего не мешает нам без сдвигов всей нумерации запихнуть между любым из них ещё один, со своим уникальным номером, который сможет отыскать кладовщик.
И так можно между 36 и 37 кирпичом запихнуть ещё такой же склад.
В math полторы калеки, поэтому пишу здесь.
Я маленький любитель математики, посвятил немного времени изучению теории множеств и прочитал доказательство неравномощности натуральных и действительных, приведённое Кантором. Возникло 2 вопроса.
1) Когда мы предполагаем, что смогли поставить в соответствие каждому натуральному своё действительное, мы имеем в виду, что составили законченную таблицу, где каждому натуральному соответствует своё действительно? Или предположение заключается в том, что мы сумели найти алгоритм нумерации каждого действительного числа?
2) Есть ли иные доказательства неравномощности R и N? Даже интуитивно понимаю, что действительных больше, но само доказательство кажется каким - то искусственным.